Delphi World - Основы 3D математики - Векторные и матричные преобразования
Delphi World - это проект, являющийся сборником статей и малодокументированных возможностей  по программированию в среде Delphi. Здесь вы найдёте работы по следующим категориям: delphi, delfi, borland, bds, дельфи, делфи, дэльфи, дэлфи, programming, example, программирование, исходные коды, code, исходники, source, sources, сорцы, сорсы, soft, programs, программы, and, how, delphiworld, базы данных, графика, игры, интернет, сети, компоненты, классы, мультимедиа, ос, железо, программа, интерфейс, рабочий стол, синтаксис, технологии, файловая система...
Основы 3D математики - Векторные и матричные преобразования

Векторы

Вектор - направленный отрезок, имеющий направление и длину. Векторы обозначаются так: a = (x,y,z), например, b = (0,1,-2). Еще одно представление вектора : AB = (x,y,z).


AB = (x,y,z) = (bx-ax,by-ay,bz-az),

где A и B - 2 точки, A(ax,ay,az) и B(bx,by,bz), A - начало вектора, B - конец вектора.

Длина вектора

Длина вектора, |a|, считается так:


|a| = sqrt(ax2+ay2+az2).

Сложение векторов.


a + b = c;
a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).

т. е. как результат мы получаем вектор.

Вычитание векторов.


c - a = b;
c - a = (cx - ax, cy - ay, cz - az).

как результат - также мы получаем вектор.

Cкалярное произведение векторов.(dot)

Скалярное произведение 2х векторов - произведение длин 2х векторов на cos угла между ними. Скалярное произведение векторов - это длина проекции вектора a на вектор b.


a . b = |a| |b| cos ?;

или


a . b = axbx + ayby + azbz; 

Следствие: ? - угол между двумя векторами: cos ? = a . b / (|a| |b|);

Проекция одного вектора на другой.

Для того, чтобы вычислить проекцию вектора b на вектор а требуется просто произвести скалярное умножение этих векторов, а затем получить произведение получившегося результата на вектор b. Обозначим искомый вектор как c. тогда:


c = (a . b) b;

фактически, мы находим длину проекции и, умножая ее на вектор, проекцию которого мы нашли, маштабируем его до нужного размера.

Умножение вектора на вектор.(cross)

Умножая вектор a на вектор b, мы получим вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют вектора a и b.


a x b = ( aybz - byaz , azbx - bzax , axby - bxay );

фактически, таким образом находиться вектор нормали к полигонам.

Матрицы

Здесь я постарался вкратце изложить то, что мы будем делать с матрицами.

скалярное произведение векторов:


[ a ] [ d ] 
[ b ] * [ f ] = a*d + b*f + c*g
[ c ] [ g ]

Векторное произведение:


[ a ] [ d ] [ b*f - c*e ]
AxB = [ b ] x [ e ] = [ c*d - a*f ]
[ c ] [ f ] [ a*e - b*d ]

Сложение матриц:


[ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1+10 2+11 3+12 ]
[ 4 5 6 ] + [ 13 14 15 ] = [ 4+13 5+14 6+15 ]
[ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7+16 8+17 9+18 ]

Умножение матриц:


[ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1*10+2*13+3*16 1*11+2*14+3*17 1*12+2*15+3*18 ]
[ 4 5 6 ] * [ 13 14 15 ] = [ 4*10+5*13+6*16 4*11+5*14+6*17 4*12+5*15+6*18 ]
[ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7*10+8*13+9*16 7*11+8*14+9*17 7*12+8*15+9*18 ]

Очень важным является тот факт, что (A*B)*С = A*(B*C)

Векторные и матричные преобразования

Параллельный перенос:

Переносим точку (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz), в результате получим точку с координатами (x+dx, y+dy, z+dz);

Поворот:

Поворачиваем точку (x,y) на угол ? :


x' = x cos ? - y*sin ?
y' = x sin ? + y*cos ?

для трехмерного случая - аналогично для каждой плоскости.

ясно, что если нам потребуется (а нам потребуется :) ) проводить для каждой точки в пространстве параллельный перенос + поворот в пространстве, то придеться сделать огромное количество преобразований.

можно построить матрицы преобразований, помножив точку - вектор на которую, мы получим результат - координаты искомой точки.

матрица параллельного переноса:


[ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ x y z 1 ]

матрица растяжения/сжатия:


[ z 0 0 0 ]
[ 0 y 0 0 ]
[ 0 0 x 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

матрица поворота вокруг оси x:


[ 0 0 0 0 ]
[ 0 cos ? sin ? 0 ]
[ 0 -sin ? cos ? 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

матрица поворота вокруг оси y:


[ cos ? 0 -sin ? 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ sin ? 0 cos ? 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

матрица поворота вокруг оси z:


[ cos ? sin ? 0 0 ]
[-sin ? cos ? 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

теперь - зачем нужны матрицы в 3D-програмировании, если можно все сделать с помощью векторов, и если, например, поворот точки с помощью векторов занимает меньше операций, чем используя матрицы.

например, мы отодвигаем камеру и поворачиваем ее. для этого требуется произвести серию операций (переносов, поворотов) с точками (вершинами полигонов) в 3D-сцене. т.е. для каждой точки произвести сначала параллельный перенос, а затем - повороты по всем осям. при использовании векторов мы просто проведем все эти операции отдельно для каждой точки... что весьма ресурсоемко. или - матричные параллельные переносы, повороты.... еще более ресурсоемко, но вспомним:


(A*B)*C = A*(B*C)

для матриц.. а нам требуется провести такие преобразования: a*A*B*C*D, где - а-точка-вектор, над которым требуется произвести действия, а A,B,C,D - матрицы переноса и поворотов. Мы вполне можем не последовательно умножать точку-вектор a на матрицы переносов, а сначала перемножить эти матрицы, а затем просто умножать получившуюся матрицу на каждую точку, которую требуется сместить - перемножение 4х матриц, а затем умножение 1 вектора на 1 матрицу на каждую точку по сравнению с подвержением каждой точки векторным преобразованиям - весьма и весьма значительное сокращение производимых операций.

Проект Delphi World © Выпуск 2002 - 2017
Автор проекта: Эксклюзивные курсы программирования