Сама Windows не позволяет это сделать, но я нашел как это обойти с помощью одной хитрости, и, похоже, это классно работает (надеюсь вы получите даже больше, чем вы хотите :).

Сначала я добавляю к моей форме свойство (и соответствующие переменные и процедуры), наподобие этому:

private
FinsertMode: boolean;
procedure SetInsertMode(value: boolean);
public
property insertMode: boolean read FinsertMode write SetInsertMode;

В обработчике создания события формы я инициализирую его:

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
{инициализация}
insertMode := True;
end;

Также для этого свойства я создаю процедуру SetInsertMode, которая с помощью TPanel с именем Panel1 извещает пользователя о текущем режиме работы:

procedure TForm1.SetInsertMode(value: boolean);
begin
FinsertMode := value;
if FinsertMode then
Panel1.Caption := 'ВСТАВКА'
else
Panel1.Caption := 'ПЕРЕЗАПИСЬ';
end;

Затем я добавляю три обработчика событий (OnKeyDown, OnKeyPress, OnEnter) для каждого моего DBEdit (можно при наличии нескольких компонентов создать один общий обработчик для всех):

procedure TForm1.DBEditKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word; Shift:
  TShiftState);
begin
  if (Key = VK_INSERT) then
    insertMode := not insertMode;
end;

procedure TForm1.DBEditKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
  if (not insertMode) and (Sender is TDBEdit) then
    (Sender as TDBEdit).SelLength := 1
  else
    (Sender as TDBEdit).SelLength := 0;
end;

procedure TForm1.DBEditEnter(Sender: TObject);
begin
  insertMode := True;
end;

Банзай! Похоже это работает, хотя я и не имел достаточного времени протестировать это. Естественно, вы можете изменить это по просьбе вашего заказчика (например, я всегда сбрасывал режим во вставку при перемещении к другому компоненту DBEedit). Все вышесказанное должно также работать без проблем и с компонентами Edit.