Существует ли какое-либо простое решение для Delphi-приложения, позволяющее прочесть запись из первого поля таблицы Paradox (первичный ключ) и потом обратно добавить ее в таблицу в виде новой записи?

Вот одно "кривое" решение:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  p : CURProps;
begin
  Table2.Insert;
  DbiGetCursorProps(Table1.Handle,p);
  Move(Table1.ActiveBuffer^,Table2.ActiveBuffer^,p.iRecBufSize);
  Table2.FieldByName('ID').AsInteger := Table1.FieldByName('ID').AsInteger + 1;
  Table2.Post;
end;

...это работает на том "основании", что как Table1, так и Table2 ссылаются на один и тот же табличный файл. Вы могли бы осуществить это и с единственным TTable, если сохраните содержание в активном буфере (ActiveBuffer).