При рассмотрении массива расстояний из метода Вагнера-Фишера становится очевидно, что при таком подходе требования к памяти равны O(mn). Чтобы избежать проблем с памятью при работе с длинными строками, Хиршберг разработал линейную относительно затрат памяти версию этого алгоритма.

Цель Хиршберга состояла в том, чтобы найти lcs(x,y) для строк x и y. Поэтому вместо расстояний между строками определялись длины самых длинных общих подпоследовательностей у все более и более длинных префиксов. Обозначим их как l_i,j, то есть:

Для данной метрики существует фиксированная взаимосвязь между l_i,j и d_i,j. Рассмотрим, например, расстояние редактирование, определяемое следующим ценовыми весами.

Из следа минимальной цены из x в y можно видеть, что расстояние редактирования d(x, y) связано с |lcs(x,y)| выведенным ниже соотношением, где del, ins и sub являются, соответственно, количествами удалений, вставок и замен символов.

Отсюда получаем взаимосвязь между l_i,j и d_i,j:

С помощью этого преобразования процедуру динамического программирования для l_i,j можно вывести из аналогичной процедуры для d_i,j, см. рисунок 12. Так как длина lcs любой строки и пустой равна 0, значения границ массива задаются как l_i,0 = l_0,j = 0. Как и в случае с d_i,j, значения l_i,j строятся по предыдущим результатам. В позиции (i,j), то есть когда рассматриваются префиксы x(1,i) и y(1,j), если x_i = y_j, мы получаем новую lcs, присоединяя этот символ к текущей lcs префиксов x(1, i - 1) и y(1, j - 1), откуда l_i,j = l_i-1,j-1 +1. Иначе длина текущей lcs просто равна максимальному из предыдущих соседних значений.

- инициализация границ массива

l0,0 = 0
for i = 1 to m
   li,0 = 0
for j = 1 to n
   l0,j = 0

- вычисление li,j

for i = 1 to m
   for j = 1 to n
      if xi = yj
         li,j = li-1,j-1 + 1
      else
         li,j = max{li-1,j, li,j-1}

Затраты памяти можно сократить, если обратить внимание, что для вычисления строки i требуется только строка i-1. Это соображение используется в алгоритме, приведенном на рисунке 13. Он выдает вектор ll, где ll_j = l_m,j. Используется массив h длины 2(n+1), в котором строки 0 и 1 выступают в качестве строк i-1 и i массива l, соответственно. Поэтому перед вычислением каждой новой ‘строки i’ строка 1 сдвигается вверх на место строки 0.

lcs_lengh(m, n, x, y, ll)

- инициализация

for j = 0 to n
   h1,j = 0

- вычисление h1,j

for i = 1 to m

   - сдвиг строки вверх

   for j = 0 to n
      h0,j = h1,j
   for j = 1 to n
      if xi = yj
         h1,j = h0,1 + 1
      else
         h1,j = max{h1,j-1, h0,j}

- копирование результата в выходной вектор

for j = 0 to n
   llj = h1,j

Как и раньше, инструкция if исполняется ровно mn раз, что дает временную сложность O(mn). Входной и выходной массивы требуют m+n+(n+1) ячеек, плюс 2(n+1) ячеек, выделенных для массива h. Поэтому пространственная сложность является линейной по m и n, то есть O(m+n). Этот метод можно использовать для определения lcs(x,y) с линейными затратами памяти, как описано ниже.

Основная идея состоит в том, чтобы рекурсивно делить строку x пополам, и для каждой половины, x1 и x2, находить соответствующие префикс и суффикс, y1 и y2 строки y, такие, что lcs для x1 и y1, соединенные с lcs для x2 и y2, равны lcs полных строк x и y, то есть:

Таким образом, задачу можно рекурсивно разбивать на подзадачи, до сведения их к тривиальным.

Обозначим длину lcs суффиксов x(i+1, m) и y(j+1, n) как , то есть

Для 0 < j < n значения l_i,j являются длинами lcs префикса x(1, i) и различных префиксов y. Аналогично, для 0 < j < n значения являются длинами lcs обращенного суффикса x_R(m, i + 1) и различных префиксов обращенной строки y_R. Следующая теорема позволяет находить подходящий префикс и суффикс y, когда x разделена пополам, то есть когда i берется равным . Теорема гласит, что если x произвольным образом разделить на две части, то максимальное по всем разбиениям y надвое значение суммы длин lcs первых и вторых частей x и y равно длине lcs полных строк x и y.

Теорема

Определим M_i формулой

Тогда

Доказательство

Пусть

тогда является общей подпоследовательностью x и y, и ее длина равна M. Таким образом,

Пусть s_m,n – произвольная lcs(x,y), тогда s_m,n является подпоследовательностью y, равной s1 s2, где s1 – это подпоследовательность x(1,i), а s2 – подпоследовательность x(i+1,m). Таким образом, существует значение j₁, такое, что s2 является подпоследовательностью y(1, j₁), а s2 – подпоследовательностью y(j₁+1, n). Длины s1 и s2 удовлетворяют следующим условиям:

Таким образом,

Из неравенств (25) и (28) получаем

что, собственно, и требовалось.

На рисунке 14 дан полный алгоритм определения lcs(x,y), использующий приведенную выше теорему. В результате возвращается строка c, равная lcs входных строк x и y. Для тривиальной задачи процедура возвращает пустую строку или односимвольную lcs. В противном случае строка x делится пополам, после чего ищутся длина lcs ее первой половины и префиксов y различной длины, и длина lcs ее второй половины и суффиксов y различной длины. Затем по теореме ищется первая позиция в y, обозначаемая здесь k, такая, что lcs первой половины x и y(1,k) в соединении с lcs второй половины x и y(k+1, n) равна требуемой lcs(x, y). Таким образом, остается только использовать это k в двух рекурсивных вызовах процедуры, чтобы получить требуемые lcs подзадач, и соединить их.

lcs(m, n, x, y, c)

   - тривиальный случай

   if n = 0
      c = e
   else if m = 1
      if j, 0 < j < n, такое что x1 = y1
         c = x1
      else
         c = e

   - нетривиальный случай, разбиение задачи

   else
      i = [m/n]

      -вычисление li,j и l*i,j для 0 < j < n

      lcs_length(i, n, x(1,i), y(1,n), l1)
      lcs_length(m-i, n, xR(m, i+1), yR(n,1), l2)

      найти j, такое, что li,j + l*i,j = lm,n

      M = max {l1j + l2n-j : 0 < j < n}
      k = min j таких, что l1j + l2n-j = M

      - решение более простой задачи

      lcs(i, k, x(1, i), y(1, k), c1)
      lcs(m - i, n - k, x(i + 1, m), y(k + 1, n), c2)

      - конкатенация результатов - окончательный результат

      c = c1c2

В линейности этого алгоритма можно убедиться следующим образом. Строки x и y можно держать в глобальном хранилище, а параметры подстроки можно передавать как указатели аргументов начала и конца подходящих подстрок. Как было показано, вызовы lcs_length требуют временного хранилища, пропорционального m и n. Не считая рекурсивных вызовов, требования к памяти в процедуре lcs являются постоянными. Можно показать, что всего производится 2m - 1 вызовов lcs. Таким образом, общие требования линейны по m и n, то есть затраты памяти у этого метода определения lcs составляют O(m + n). Хиршберг [Hirschberg, 1975] проанализировал также временные затраты этого алгоритма, и показал, что они равны O(mn).