Я написал программу, которая делает это. Это DOS-программа. Вы вызываете ее с десятичным числом, передаваемым в качестве параметра. После чего программка выведет 3 колонки, в первой будет находиться исходное число, две остальные будут содержать числитель и знаменатель. Вы можете преобразовать программу в функцию и применять ее в своих приложениях, но, думаю, это несложно, и с этим вы справитесь сами.

Для ее запуска достаточно в подсказке DOS набрать ее имя и число:

CONTFRAC 3.141592654

program contfrac; { непрерывные дроби }
{$N+}
const
  order = 20;
var
  y, lasterr, error, x: extended;
  a: array[0..order] of longint;
  i, j, n: integer;
  op, p, q: longint;
begin
  lasterr := 1E30;
  val(paramstr(1), y, n);
  if n <> 0 then
    halt;
  x := y;
  a[0] := trunc(x);

  writeln;
  writeln(a[0]: 20, a[0]: 14, 1: 14);

  { это может вызвать резкую головную боль и галлюцинации }

  for i := 1 to order do
  begin
    x := 1.0 / frac(x);
    a[i] := trunc(x);
    p := 1;
    q := a[i];
    for j := pred(i) downto 0 do
    begin
      op := p;
      p := q;
      q := a[j] * q + op;
    end;
    error := abs(y - int(q) / int(p));
    if abs(error) >= abs(lasterr) then
      halt;
    writeln(a[i]: 20, q: 14, p: 14, error: 10);
    if error < 1E-18 then
      halt;
    lasterr := error;
  end;
end.

Теперь попытаюсь объяснить мой алгоритм (он, по-моему, достаточно быстрый). Вот схема:

Допустим, мы используем число 23.56.

Берем наше натуральное число и производим целочисленное деление на 1.

23.56 div 1 = 23

Теперь вычитаем результат из числа, с которого мы начали.

23.56 - 23 = .56

Для преобразования значения в целое мы просто умножаем его на 100, и, при необходимости, приводим его к целому.

             valA := (val div 100);
             valB := (valA - val); or valB := (valA - val) * 100;

                val = 23.56
                ValA = 23
                ValB = .56 or 56